Question

Заранее . дифференциальное уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: 1)y'*(x^2+2)^1/2=4y^3 2)x*y*y'+(1+2x)=0 3)7*(y)^1/2=y'*(x^2+16)

Answer 1

$1)\; \; y'(x^2+2)^{1/2}=4y^3\\\\y'\, \sqrt{x^2+2}=4y^3\; ,\; \; \; y'= \frac{dy}{dx}= \frac{4y^3}{\sqrt{x^2+2}} \\\\\int \frac{dy}{4y^3} =\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \\\\ \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{-2}}{-2}=ln|x+\sqrt{x^2+2}|+C\\\\- \frac{1}{8y^2} =ln|x+\sqrt{x^2+2}|+C$

$2)\; \; xyy'+(1+2x)=0\\\\xyy'=-(1+2x)\; ,\; \; \; \frac{dy}{dx}=\frac{-(1+2x)}{xy} \; ,\\\\\int y\, dy=-\int \frac{(1+2x)\, dx}{x} \; ,\; \; \; \int y\, dy=-\int ( \frac{1}{x}+2)\, dx \\\\ \frac{y^2}{2}=-ln|x|-2x+C$

$3)\; \; 7y^{1/2}=y'\cdot (x^2+16)\\\\7\sqrt{y}=y'\cdot (x^2+16)\; ,\; \; \; \frac{dy}{dx}= \frac{7\sqrt{y}}{x^2+16} \; \; ,\\\\\int \frac{dy}{7\sqrt{y}}=\int \frac{dx}{x^2+16} \\\\ \frac{1}{7}\cdot 2\sqrt{y}=\frac{1}{4}\cdot arctg \frac{x}{4} +C$