Question

Решите быстрее . стороны оснований правильной четырёхугольной усеченной пирамиды равны 40 см и 10 см. площадь её полной поверхности равна 3400 см^2. найти объём усеченной пирамиды. вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями: y= 2x-1 , y=0 , x=1 , x= 3.

Answer 1

1) Пирамида. Ее поверхность состоит из 2 квадратов со сторонами
40 см и 10 см, и 4 равнобедренных трапеций с такими же основаниями.
Рисунок я прилагаю. На рис. а изображена пирамида.
На рис. б - ее боковая грань. На рис. в - диагональное сечение.
S = S1 + S2 + 4*S(тр)
3400 = 10^2 + 40^2 + 4*S(тр)
3400 = 100 + 1600 + 4*S(тр)
S(тр) = (3400 - 1700)/4 = 1700/4 = 425 см^2
С другой стороны, площадь трапеции
S(тр) = (a + b)*h/2 = (10 + 40)*h/2 = 425
h = 425*2/50 = 425/25 = 17 см
На рис. б я изобразил боковую грань пирамиды с размерами.
Видно, что нижнее основание делится на три отрезка: два одинаковых,
по x см, и один средний, равный верхнему основанию 10 см.
40 = 2x + 10
x = (40 - 10)/2 = 15 см.
Из теоремы Пифагора находим боковое ребро пирамиды
b^2 = x^2 + h^2 = 15^2 + 17^2 = 225 + 289 = 514
b = √514 см.
На рис. в я изобразил осевое сечение. Это такая же трапеция, но основания равны диагоналям квадратов, 10 √2 и 40√2 см.
Боковое ребро тоже самое, b = √514 см.
40√2 = 2y + 10√2
y = (40√2 - 10√2)/2 = 30√2/2 = 15√2 см.
Найдем высоту пирамиды H опять из теоремы Пифагора
H^2 = b^2 - y^2 = 514 - 225*2 = 514 - 450 = 64
H = √64 = 8 см.
Объем пирамиды
V = 1/3*H*(S1 + √(S1*S2) + S2) = 1/3*8*(100 + √(100*1600) + 1600) =
= 8/3*(1700 + 10*40) = 8/3*(1700 + 400) = 8/3*2100 = 8*700 = 5600 см^3

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями.
y = 2x - 1, y = 0, x = 1, x = 3
Это трапеция, у которой высота h = 3 - 1 = 2, малое основание a = y = 2*1 - 1 = 1, большое основание b = y = 2*3 - 1 = 5.
S = (a + b)*h/2 = (1 + 5)*2/2 = 6