Question

Исследуйте функцию с производной на монотонность и экстремумы y=4x^3-12x+5

Answer 1

Исследование: 

1) Область определения и область значения функции
$\displaystyle y=4x^3-12x+5$

Область определения (-оо;+оо)
Область значения (-oo;+oo)

2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность

$\displaystyle y(-x)=4*(-x)^3-12(-x)+5=-4x^3+12x+5=-(4x^3-12x-5)$

Значит функция не является ни четной ни нечетной

3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

$\displaystyle y(0)=4*0-12*0+5=5$

точка пересечения с осью Оу (0;5)

$\displaystyle y(x)=0\\4x^3-12x+5=0$

Уравнение в целых числах не решается:
х₁≈-1,9; х₂≈0,44; х₃≈1,46

Точки пересечения с осью Ох (-1,9;0) (0,44;0) (1,46;0)

4) Находим критические точки и интервалы монотонности.

для этого найдем производную 

$\displaystyle y`(x)=(4x^3-12x+5)`=12x^2-12$

найдем критические точки

$\displaystyle 12x^2-12=0\\12(x^2-1)=0\\x_1=1; x_2=-1$

определим знаки производной 
 
     +               -                 +
-------- -1 ------------ 1 --------------

на интервале (-оо; -1 ) (1;+оо) возрастает
на интервале (-1;1) убывает

точка х= -1 - точка максимума
$\displaystyle y(-1)=4*(-1)^3-12(-1)+5=-4+12+5=13$ максимум функции

точка х=1 - точка минимума
$\displaystyle y(1)=4*1^3-12*1+5=4-12+5=-3$ минимум функии

5) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости.

Для этого найдем вторую производную

$\displaystyle y``(x)=(12x^2-12)`=24x$

найдем критические точки

$\displaystyle y``(x)=0\\24x=0\\x=0$
определим знаки второй производной на интервалах

    -                      +
------------ 0 --------------

На интервале (-оо;0) график Выпуклый вверх
на интервале (0;+оо) график выпуклый вниз-вогнутый

и график в приложении