Даны координаты вершин треугольника ABC :
A (-3; 10), B (9; 1), С (7;15). Найти:
1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты (к).
Вектор АВ = (9-(-3); 1-10) = (12; -9), к = -9/12 = -3/4.
Вектор АС = (7-(-3); 15-10) = (10; 5), к = 5/10 = 1/2.
Уравнения сторон:
АВ: (x + 3)/12 = (y -10)/(-9) это канонический вид.
АВ: у = (-3/4)х + в, подставим координаты точки А: 10 = (-3/4)*(-3) + в, отсюда в = 10 - (9/4) = 31/4. Имеем уравнение с угловым коэффициентом. АВ: у = (-3/4)х + (31/4).
АС: (x + 3)/10 = (y -10)/5.
у = (1/2)х + в, 10 = (1/2)*(-3) + в, в = 10 + (3/2) = 23/2.
АС: у = (1/2)х + (23/2).
2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой.
Вектор АВ = (12; -9), модуль равен √(144 + 81) = √225 = 15.
Вектор АС = (10; 5),модуль равен √(100 + 25) = √125 = 5√5.
cos A = (12*10+(-9)*5)/(15*5√5) = 1/√5 ≈ 0,447213595
A = 1,10715 радиан или 63,43495 градусов .
3) уравнение высоты CD и ее длину;
к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-3/4) = 4/3.
СД: у = (4/3х + в, т.С: 15 = (4/3)*7 + в, в = 15 - 28/3 = 17/3.
СД: у = (4/3)х + (17/3).
Находим площадь треугольника ABC:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 75 .
h(CD) = 2S/|AB| = 2*75/15 = 10.
4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .
АE : Х-Ха = У-Уа
Ха1-Ха Уа1-Уа
у = -0,181818182 х + 9,454545455 АE : -2 Х + -11 У + 104 = 0 .
АE : у = -0,181818182 х + 9,454545455
СD: у = 1,333333333 х + 5,666666667
Точка пе Х = 2,5,
ресечения У = 9.
Все за минуту заполняют (1/20+1/24+1/30)=6/120+85/120+4/120=
15/120=1/8 часть бассейна. Значит вместе они заполнят бассейн за 8 минут.