Question

Найти сумму точек экстремума функции

Answer 1

Область определения функции: $D(y)=(-\infty;+\infty)$

Вычислим производную функции

$y'= \dfrac{(x-2)'\cdot(x^2+5)-(x-2)\cdot(x^2+5)'}{(x^2+5)^2}=\\ \\ \\ = \dfrac{1\cdot(x^2+5)-2x\cdot(x-2)}{(x^2+5)^2}= \dfrac{x^2+5-2x^2+4x}{(x^2+5)^2}=\\ \\ \\ = -\dfrac{x^2-4x-5}{(x^2+5)^2}$

Найдем точки экстремума, приравняв к нулю производную функции

$-\dfrac{x^2-4x-5}{(x^2+5)^2} =0$

Дробь равен нулю, когда числитель обращается в нуль.

$x^2-4x-5=0\\ (x-2)^2=9\\ x-2=\pm3\\ \\ x_1=5\\ x_2=-1$

___-___(-1)____+___(5)___-____
В точке х=-1 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка х = -1 - точка минимума. В точке х =5 производная функции меняет знак с (+) на (-), значит х = 5 - точка максимума.

Сумма точек экстремума: -1 + 5 = 4

Окончательный ответ: 4.