Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 61 один из катетов на 20 % больше другого найти катет и бесиктрису прямого угла

Answer 1

Я уже решал подобные задачи.
Для биссектрисы есть формула: $l_c= \frac{2 \sqrt{abp(p-c)} }{a+b}$
Здесь а и b - катеты, с - гипотенуза, p = (a+b+c)/2 - полупериметр.
Сначала найдем катеты.
c = 61; b = 1,2*a - один катет на 20% больше другого. По т. Пифагора
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + (1,2*a)^2 = a^2 + 1,44*a^2 = 2,44*a^2 = 61^2
61*0,04*a^2 = 61^2
a^2 = 61/0,04 = 61*25
a = 5√61 - это короткий катет
b = 1,2*a = 1,2*5√61 = 6√61 - это длинный катет
p = (a+b+c)/2 = (5√61 + 6√61 + 61)/2 = (11√61 + 61)/2
p - c = (11√61 + 61)/2 - 61 = (11√61 - 61)/2
Подставляем все это в формулу биссектрисы
$l_c= \frac{2 \sqrt{abp(p-c)} }{a+b}=\frac{2 \sqrt{5 \sqrt{61} *6 \sqrt{61} (11 \sqrt{61}-61 )/2*(11 \sqrt{61}+61 )/2} }{5 \sqrt{61} +6 \sqrt{61}}=$
$= \frac{2 \sqrt{30*61(121*61-61^2)/4}}{11 \sqrt{61} } = \frac{ \sqrt{30*61*61(121-61)} }{11 \sqrt{61} }=$
$= \frac{61 \sqrt{30*50} }{11 \sqrt{61} }= \frac{10}{11} \sqrt{61*15} = \frac{10}{11} \sqrt{915}$

ответ: катеты a = 5√61; b = 6√61; биссектриса L(c)=10/11*√915