Question

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |1 − x| = 1 + (1 − 2a)x + ax^2 имеет ровно три решения.

Answer 1

1) x > 1, тогда |1 - x| = x - 1
x - 1 = 1 + x(1 - 2a) + ax^2
ax^2 + x(1 - 2a - 1) + 2 = 0
ax^2 - 2ax + 2 = 0
D = (-2a)^2 - 4*a*2 = 4a^2 - 8a = 4(a^2 - 2a) > 0
a ∈ (-oo; 0) U (2; +oo)
x1 = (2a - 2√(a^2-2a)) / (2a) = 1 - √(a^2-2a)/a = 1 - √[(a-2)/a]
x2 = (2a + 2√(a^2-2a)) / (2a) = 1 + √(a^2-2a)/a = 1 + √[(a-2)/a]

2) x = 1, тогда |1 - x| = 0
0 = 1 + (1 - 2a)*1 + a*1^2 = 1 + 1 - 2a + a = -a + 2
a = 2
Подставим a = 2 в уравнение и решим его.
|1 - x| = 1 + (1 - 4)x + 2x^2 = 1 - 3x + 2x^2
При x > 1 будет |1 - x| = x - 1
x - 1 = 1 - 3x + 2x^2
2x^2 - 4x + 2 = 0
2(x - 1)^2 = 0
x1 = x2 = 1 - не подходит, потому что x > 1
При x <= 1 будет |1 - x| = 1 - x
1 - x = 1 - 3x + 2x^2
2x^2 - 2x = 2x(x - 1) = 0
x1 = 0; x2 = 1 - два корня, а = 1 не подходит.

3) x <= 1, тогда |1 - x| = 1 - x
1 - x = 1 + (1 - 2a)x + ax^2
ax^2 + (1 - 2a + 1)x = 0
x*[ax + (2 - 2a)] = 0
x1 = 0; x2 = (2a - 2)/a = 2 - 2/a <= 1
2/a >= 1
2/a - 1 >= 0
(2 - a)/a >= 0
a ∈ (0; 2]

Итак, получаем следующее:
При a = 0 в 1) случае корней нет, в 3) случае будет 1 корень x = 0
При a = 2 в 1) случае будет 1 корень x = 0, в 3) случае 2 корня x1 = 0, x2 = 1.
В любом случае не больше 2 корней.

При a = 1 в 1) случае корней нет,  во 2) случае корней нет,
в 3) случае x = 0

При a ∈ (0; 2) в 1) случае корней нет, в 3) случае 2 корня:
x1 = 0; x2 = (2a - 2)/a

При a ∈ (-oo; 0) U (2; +oo) в 1) .случае 2 корня:
x1 = 1 - √[(a-2)/a]; x2 = 1 + √[(a-2)/a]
Во 2) случае корней нет, в 3) случае корней нет.

ответ: 3 корня не будет ни при каком а