Question

При каких значениях а уравнение имеет четыре корня х^4+(а-3)х^2+(а+10)^2=0

Answer 1

Произведем замену. Пусть $x^2=t(t \geq 0)$, тогда придем к уравнению вида $t^2+(a-3)t+(a+10)^2=0.$ Поскольку t - положительное число, то корни квадратного трехчлена $At^2+Bt+C$ с действительными коэффициентами оба действительны и оба больше данного числа $\gamma$ ($t_1\ \textgreater \ \gamma,\,\, t_2\ \textgreater \ \gamma)$, когда $\begin{cases} & \text{ } B^2-4AC \geq 0 \\ & \text{ } A(A\gamma^2+B\gamma+C)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } \gamma\ \textless \ - \dfrac{B}{2A} \end{cases}.$

Согласно этому и условию, имеем $\begin{cases} & \text{ } (a-3)^2-4(a+10)^2 \geq 0 \\ & \text{ } 1\cdot(1\cdot 0^2+B\cdot 0+(a+10)^2)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } 0\ \textless \ - \dfrac{a-3}{2} \end{cases}$

Рассмотрим неравенства отдельно

$(a-3)^2-4(a+10)^2 \geq 0$. Применяя формулу сокращенного умножения $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в левой части неравенства, получим $(a-3-2a-20)(a-3+2a+10) \geq 0$, тогда $(-a-23)(3a+7) \geq 0$. Приравняв к нулю, получим корни $a_1=-23;\,\,\, a_2=- \frac{7}{3}$

$(a+10)^2\ \textgreater \ 0$. Левая часть неравенства принимает только положительные значения, значит неравенство выполняется при $a \in (-\infty;-10)\cup(-10;+\infty)$

$0\ \textless \ -\frac{a-3}{2}$. Умножив обе части неравенства на 2, получим $-a+3\ \textgreater \ 0$   откуда  $a\ \textless \ 3$

Общее решение системы неравенств $a \in [-23;-10)\cup(-10;- \frac{7}{3} ]$

Проверим теперь некоторые нюансы. Если $a=-23$, то неравенство примет вид $x^4-26x^2+169=0$. Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, получим $(x^2-13)^2=0$, тогда $x^2=13$ откуда $x=\pm \sqrt{13}$. Значит при а=-23 уравнение имеет 2 корня, следовательно, а=-23 нам не подходит.

Если $a=- \frac{7}{3}$, то уравнение примет вид $9x^4-48x^2+529=0$. Решив квадратное уравнение относительно $x^2$, имеем $D=(-48)^2-4\cdot9\cdot529\ \textless \ 0$. Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет. 

ответ: $a\in (-23;-10)\cup(-10;- \frac{7}{3} )$