Question

Решите уравнение x^4+2x^3-5x^2+2x+1=0

Answer 1

Х^4 +2x^3-5x^2+2x+1=0}
Разделите обе части уравнения на х^2. Получаем уравнение вида:
х^2-2x-1- 2/x(записывается дробью)+ 1/x^2(записывается дробью)=0
Для удобства заменяем выражение x+1/x(записывается дробью) на букву B (можете использовать любую)
В итоге получаем квадратное уравнение B^2 - 2B - 3 = 0
Решение полученного уравнения:
x+1/x (записывается дробью) =3
х= 3 +- √5/2(записывается дробью), или х+1/х(записывается дробью)=-1
ответ: х= 3 +- √5/2(записывается дробью), уравнение не имеет корней.

 

Answer 2

Воспользуемся методом неопределенных коэф.
Разложим наш полином 4-ой степени на два многочлена квадратных.
(x^2+ax+c)(x^2+bx+d) = x^4+x^3(b+a)+x^2(c+ba+d)+x(da+bc)+dc
Решаем систему уравнений:
b+a = 2
c+ba+d = -5
da+bc = 2
dc = 1, с вашего позволения я ее решать не буду, а лишь укажу корни:
(Но если это потребуется, то это несложно).
$a = 1-2\sqrt{2}; b = 1+2\sqrt{2}; c = 1; d = 1$
Тогда:
$(x^2+(1-2\sqrt{2})x+1)(x^2+(1+2\sqrt{2})x+1) = 0 \\ 1-2\sqrt{2} = a \\ x^2+ax+1 = 0 \\ D = a^2-4; (2\sqrt{2}-1)^2-2^2 = (2\sqrt{2}-3)(2\sqrt{2}+1) \ \textless \ 0 \\ \Rightarrow (2\sqrt{2}-3) \ \textless \ 0; \text{not solution} \\ x^2+(1+2\sqrt{2})x+1 \\ b = 1+2\sqrt{2} \\ D = b^2-4 = (2\sqrt{2}+1)^2-2^2 = (2\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}+1) \ \textgreater \ 0 \\ \\ \Rightarrow 2\sqrt{2} ~ 2*1.4 \ \textgreater \ 1 \\ x_{1,2} = \frac{-b+\sqrt{b^2-4}}{2};$