Question

19*x^2-65*у^2=1965 решить уравнение в целых числах.

Answer 1

Так как на 5 делится и разность и вычитаемое, уменьшаемое тоже должно делиться на 5, то есть $x = 5x_1$

Тогда
$19\cdot25x_1^2-65y^2=1965\\ 95x_1^2-13y^2 = 393$

В последнем равенстве на  3 делится разность, значит уменьшаемое и вычитаемое либо оба делятся на 3, либо оба не делятся.

Квадрат натурального числа при делении на три может давать в остатке 0 или 1. Допустим, что оба не делятся на 3 (у каждого квадрата будет остаток 1). Тогда, считая остатки: 95*1-13*1 = 82. на 3 не делится. Значит такой вариант не подходит.

Остается вариант, что уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3. Тогда они должны делиться и на 9 тоже (потому что квадраты). Но разность не делится на 9, ибо 393=3*131. Мы остались без вариантов

Отсюда я заключаю, что приведенное уравнение не имеет решения в целых числах