Question

Докажите, что число n^4+3n^2+4 делится без остатка на число n^2-n+2 при любом натуральном n

Answer 1

Задание. Докажите, что число n^4+3n^2+4 делится без остатка на число n^2-n+2 при любом натуральном n.
                    Решение:
Разложим на множители число n^4 + 3n^2 + 4.
$n^4+3n^2+4=n^4+4n^2+4-n^2=(n^2+2)^2-n^2=\\ =(n^2+n+2)(n^2-n+2)$

Видим, что второй множитель делится на число $n^2-n+2$, а значит и данное число делится без остатка при любом $n \in \mathbb{Z}$