Question

Доказать доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.

Answer 1

Задание. Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.
                   Решение:
Из условия нужно доказать, что $3^n+3^{n+1}+3^{n+2}$ делится без остатка на 117 при любом натуральном $n \geq 2$.
Докажем методом математической индукции.
1) Базис индукции (n=2)
При $n=2$ получаем $3^2+3^3+3^4=117$, т.е. утверждение справедливо.
2) Допустим, что и при $n=k$ сумма $3^k+3^{k+1}+3^{k+2}$ делится на 117.
3) Индукционный переход (n=k+1)
$3^{k+1}+3^{k+2}+3^{k+3}=3\cdot3^k+3\cdot3^{k+1}+3\cdot 3^{k+2}=\\ \\ =3(3^k+3^{k+1}+3^{k+2}).$
По предположению индукции $3^k+3^{k+1}+3^{k+2}$ делится на 117.
Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.