Question

48 ! ! вася назвал натуральное число n, после чего петя нашел суму цифр числа n , потом суму цифр числа n+7 n , потом суму цифр числа n+7*2 n , потом сумму цифр числа n+7*3 n и т.д. мог ли он получать каждый раз результат, больший за предыдущий?

Answer 1

Нет. Идея доказательства следующая.

Сумма цифр в числе не может быть больше чем 9 умножить на количество цифр в числе. Мы на каждой итерации прибавляем фиксированное число к нашему n - прогрессия арифметическая. А чтобы увеличивать количество цифр в числе, нужно умножать его на 10 - прогрессия геометрическая. 

Это означает следующее - каждая новая добавленная цифра в наше число будет требовать примерно в 10 раз больше итераций, чем предыдущая. В какой-то момент, чтобы добавить k+1-вую цифру необходимых итераций станет больше, чем количество различных сумм цифр в k-значном числе. Поэтому мы не сможем удовлетворить условию, чтобы на каждой итерации сумма цифр возрастала - нам банально не хватит итераций

Answer 2

Нет, не мог, так как у чисел n, 10n, 100n, 1000n,... одинаковая сумма (кстати, слово "сумма" почему-то пишется с двумя м, а не с одним - наверное, чтобы отличаться от  слова "сума" - помните поговорку - от тюрьмы и от сумы...) цифр. Остается заметить, что для любого натурального m

$10^{6m}=7k+1$

Так, 

$10^6=999999+1=7\cdot 142857+1;$

$10^{12}=999999999999+1=999999\cdot 1000001+1$

и так далее.