Question

Найдите все значения параметра с, при которых корни уравнения х²+4cx+(1-2с+4с²)=0 меньше, чем –1. можно поподробнее заранее !

Answer 1

X^2 + 4cx + (4c^2-2c+1) = 0
Решаем, как обычное квадратное уравнение. Коэффициенты:
a = 1; b = 4c; c = (4c^2-2c+1)
D/4 = (b/2)^2 - ac = (2c)^2 - 1(4c^2-2c+1) = 4c^2 - 4c^2 + 2c - 1 = 2c - 1
Два корня будут, если D > 0
2c - 1 > 0; c > 1/2
x1 = (-b/2 - √(D/4)) / a = -2c - √(2c - 1)
x2 = (-b/2 + √(D/4)) / a = -2c + √(2c - 1)
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то ясно, что
x1 < x2. Нам надо, чтобы оба корня были меньше -1. Достаточно x2 < -1
-2c + √(2c - 1) < -1
Переносим 2с направо
√(2c - 1) < 2c - 1
Это верно для любых
2c - 1 > 1
2c > 2; c > 1.
ответ: x1 < -1 и x2 < -1 при c > 1.

Answer 2

По условию график функции $f(x)=x^2+4cx+(1-2c+4c^2)$ должен пересекаться с осью OX в двух точках слева от x= - 1. Поскольку ветви параболы - графика этой функции - направлены вверх, для этого необходимо и достаточно, чтобы 1) D>0; 2) f(-1)>0; 3) f ' (-1)>0. 1-е условие дает c>1/2; 2-е условие дает c<1/2 или c>1; 3-е условие дает c>1/2. Окончательно получаем c>1.

ответ: c>1