ответ: функция имеет минимум, равный -3/8, в точке M(1/8; 3/8; -3/8). Максимума функция не имеет.
Пошаговое объяснение:
1. Находим первые и вторые частные производные и после приведения подобных членов получаем:
du/dx=6*x-4*y-2*z, du/dy=-4*x+10*y+6*z-1, du/dz=-2*x+6*y+8*z+1, d²u/dx²=2, d²u/dy²=10, d²u/dz²=8, d²u/dxdy=-4, d²u/dydx=-4, d²u/dxdz=-2, d²u/dzdx=-2, d²u/dydz=6, d²u/dzdy=6.
2. Приравнивая нулю первые частные производные, получаем систему уравнений:
6*x-4*y-2*z=0
-4*x+10*y+6*z=1
-2*x+6*y+8*z=-1
Решая её, находим x=1/8, y=3/8, z=-3/8. Таким образом, найдены координаты единственной стационарной точки M (1/8; 3/8; -3/8).
3. Вычисляем значения вторых частных производных в стационарной точке:
d²u/dx²(M)=a11=6, d²u/dxdy(M)=a12=-4, d²u/dxdz(M)=a13=-2, d²u/dydx(M)=a21=-4, d²u/dy²(M)=a22=10, d²u/dydz(M)=a23=6, d²u/dzdx(M)=a31=-2, d²u/dzdy(M)=a32=6, d²u/dz²(M)=a33=8
4. Составляем матрицу Гессе:
H = a11 a12 a13 = 6 -4 -2
a21 a22 a23 -4 10 6
a31 a32 a33 -2 6 8
5. Составляем и вычисляем угловые миноры матрицы Гессе:
δ1 = a11 = 6, δ2 = a11 a12 = 44, δ3 = a11 a12 a13 = 192
a21 a22 a21 a22 a23
a31 a32 a33
6. Так как δ1>0, δ2>0 и δ3>0, то точка М является точкой минимума, равного u0=u(1/8; 3/8; -3/8)=-3/8.
Известно, a4 = 12 и a6 = 18
В арифметической прогрессии каждый последующий член больше предыдущего на величину шага (d):
a5 = a4 + d, или a5 = 12 + d
a6 = a5 + d, или 18 = a5 + d
Значение a5 из первого уравнения подставляем во второе уравнение:
18 = (12 + d) + d = 12 + 2d, откуда находим 6 = 2d; d = 3
Подставляем полученное значение шага в первое уравнение:
a5 = 12 + d = 12 +3 = 15
ответ: 15
Примечание. Всё можно было найти гораздо проще. Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (за исключением первого члена, у которого только один сосед). Используя данное свойство, легко находим пятый член прогрессии, т.к. известны его соседи слева и справа:
a5 = (a4 + a6)/2 = (12 + 18)/2 = 30/2 = 15