Question

1) а) решите уравнение cos2x+sin2x=0,5 б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезав [7п/2, -2п] 2) решите неравенство: 4x - 7*2x +10< 0

Answer 1

1) Дано уравнение: cos2x+sin2x=0,5.
Воспользуемся формулой:
$cosx+sinx = \sqrt{2} sin(x+ \frac{ \pi }{4}).$
Для нашей задачи:
$cos(2x)+sin(2x)= \sqrt{2}sin(2x+ \frac{ \pi }{4} ).$
Приравняем выражение 0,5.
$\sqrt{2}sin(2x+ \frac{ \pi }{4} )=0,5.$
Разделим на √2 обе части и выразим относительно х:
$2x+ \frac{ \pi }{4} = arc sin\frac{1}{2 \sqrt{2} } .$
$x= \frac{1}{2}arc sin \frac{1}{2 \sqrt{2} } - \frac{ \pi }{8} .$

Общий вид решения уравнения  sin x = a,  где  | a | ≤ 1, определяется формулой:

x = (-1)^k* arcsin(a) + πk,  k ∈ Z (целые числа),

На заданном отрезке [7п/2, -2п] имеется 11 значений, соответствующих корням этого уравнения:
-5,28577                   0,997414                 7,2806
-3,35361                   2,92958                   9,21276
-2,14418                   4,13901                   10,4222.
-0,212016                  6,07117
 
2) В заданном неравенстве 4x - 7*2x +10<0   что то неверно записано - или квадрат пропущен или сложить члены с х:  4x - 7*2x = -10х.
Тогда неравенство: 4x - 7*2x +10<0 будет иметь вид -10х-10 < 0.
10х > 10.
x > 1.
Если пропущен квадрат 4x² - 7*2x +10<0, то получим квадратное неравенство 4x² - 14x +10<0.
Находим крайние точки, при которых квадратный трёхчлен равен 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-14)^2-4*4*10=196-4*4*10=196-16*10=196-160=36;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-14))/(2*4)=(6-(-14))/(2*4)=(6+14)/(2*4)=20/(2*4)=20/8=2,5;x_2=(-√36-(-14))/(2*4)=(-6-(-14))/(2*4)=(-6+14)/(2*4)=8/(2*4)=8/8=1.Получаем ответ: 1 < x <2,5