Question

Перпендикуляр, восстановленный в вершине c параллелограмма abcd к прямой cd, пересекает в точке f перпендикуляр, опущенный из вершины a на диагональ bd, а перпендикуляр, восстановленный из точки b к прямой ab, пересекает в точке e серединный перпендикуляр к отрезку ac. в каком отношении отрезок ef делится стороной bc, считая от вершины e? если p — точка пересечения отрезков ef и bc, то в ответе укажите ep/pf

Answer 1

GH||BE

△ABG:
высота из вершины A лежит на AF (AF⊥BD)
высота из вершины G лежит на GH (BE⊥AB, GH||BE => GH⊥AB)
H - точка пересечения высот △ABG =>
высота из вершины B лежит на BH, BH⊥AC

EG⊥AC => BH||EG =>
BEGH - параллелограмм (противоположные стороны параллельны) =>
BE=GH (противоположные стороны параллелограмма)

GH - средняя линия △AFC (AG=GC, GH||BE) =>
GH= CF/2 (средняя линия т-ка равна половине основания) =>
BE= CF/2 <=> BE/CF= 1/2

AB||CD (противоположные стороны параллелограмма),
BE⊥AB, CF⊥CD => BE||CF
∠BEP=∠CFP, ∠EBP=∠FCP (накрест лежащие при параллельных) =>
△BEP~△CFP => BE/CF=EP/PF =1/2