Question

Решить диф. уравнение y' + y*tg(x) = 1/cos(x), y(0)=1

Answer 1

Имеем линейное дифференциальное уравнение. Решение будем искать в виде произведения двух функций $y=u(x)\times v(x)$, тогда по правилу дифференцирования произведения: $y'=u'v+uv'.$
Подставляя замену в исходное уравнение, получим
.                                           $u'v+uv'+uv\,tg x= \dfrac{1}{\cos x} \\ u'v+u(v'+vtg x)= \dfrac{1}{\cos x}$
Функцию v подбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0. То есть, имеет место система
.                                                  $\displaystyle \left \{ {{v'+v\, tgx=0} \atop {u'v= \frac{1}{\cos x} }} \right.$
Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
.      $\displaystyle v'=-vtgx\Rightarrow\,\, \frac{dv}{dx} =-v\, tgx\Rightarrow \int\limits{ \frac{dv}{v} } = \int\limits -tg xdx\Rightarrow\,\, \ln |v|=\ln|\cos x|$
 откуда     $v=\cos x$
Подставим найденное значение $v$ во второе уравнение системы:
.                    $\displaystyle \frac{du}{dx}= \frac{1}{\cos^2 x}\Rightarrow\,\, \int\limits du= \int\limits \frac{dx}{\cos^2 x}\Rightarrow\,\, u=tgx+C$
Возвращаемся к обратной замене.
.                   $y=(tg x+C)\cos x\Rightarrow\,\,\, y=\sin x+ C\cos x$
Найдем теперь частное решение задачи Коши, используя начальное условие $y(0)=1$, найдем значение константы интегрирования:
.                    $1=\sin0+C\Rightarrow\,\,\, C=1.$
Таким образом, частное решение заданного уравнения будет иметь вид:
.                                           $\boxed{y=\sin x+\cos x}$

ответ: $y=\sin x+\cos x.$