Question

Составить диф. уравнение семейства кривых c1x+(y-c2)^2=0

Answer 1

Видим, что данное уравнение содержит два параметра, то есть, $C_1$ и $C_2$. Дифференцируем его два раза по $x$. Получаем
                                   $C_1+2(y-C_2)y'=0\\ \\2y'^2+2(y-C_2)y''=0$
Исключаем $C_1$ и $C_2$ из полученных уравнений. 
$C_1=-2(y-C_2)y'$, подставляя это в исходное уравнение, получим
                   $-2x(y-C_2)y'+(y-C_2)^2=0\Rightarrow\,\,-2xy'+y-C_2=0$
Отсюда $C_2=y-2xy'$, подставим теперь это в последнее уравнение, получаем
                     $2y'^2+2y''\times2xy'=0\Rightarrow\,\,2 y'(y'+2xy'')=0$

Искомое уравнение $y'+2xy''=0.$