Question

Наименьшее значение функции: f(x) = (x^4+x+3)/x, x принадлежит (0; +бесконечность)

Answer 1

Первая производная функции равна  3*х²-3/х², она равна нулю при 3*х²=3/х², или при х=1 в заданном интервале. Это точка минимума, так как f'(0)=0-∞; и f'(2)=12-0,75>0.f(1)=5/1=5.

ответ: 5.

Answer 2

Представив данную функцию в виде:
              $f(x)= \dfrac{x^4+x+3}{x} =x^3+1+ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x}$
На промежутке - положительные числа. Применим неравенство Коши:
 
          $x^3+1+ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} \geq 5 \sqrt[5]{x^3\times1\times \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{x} } =5$

При любом $x \in (0;+\infty).$ $f(x) \geq 5$ Отсюда наименьшее значение функции - 5.

ответ: 5.