Находим уравнение плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости 2x + 3y + z + 15 = 0.
2(x - 1) + 3(y - 5) +1(z - 0) = 2x - 2 + 3y - 15 + z = 2x + 3y + z - 17.
Теперь примем точку M на оси Оz с координатами (0; 0; z) и определяем расстояния от неё до новой плоскости (2x + 3y + z - 17) и точки А (2; 3; 4).
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²).
Так как Мх и Му равны 0, а модуль нормали плоскости равен √(4+9+1) = √14, то это расстояние можно выразить так:
d = (1*Mz - 17)/√14.
Теперь определим расстояние между точками А и М.
АМ = √((0 - 2)² + (0 - 3)² + (Мz - 4)²) = √(13 + (Мz - 4)²).
Приравняем эти расстояния: (1*Mz - 17)/√14 = √(13 + (Мz - 4)²).
Возводим в квадрат обе части уравнения.
(Mz² - 34Mz + 289)/14 = 13 + Мz² - 8Mz + 16.
Получаем квадратное уравнение 13Мz² - 78Mz + 117 = 0.
Ищем дискриминант:
D=(-78)^2-4*13*117=6084-4*13*117=6084-52*117=6084-6084=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
Mz = -(-78/(2*13)) = -(-78/26) = -(-3) = 3.
ответ: точка имеет координаты (0; 0; 3).
684/114=6 час. были в пути поезда
108*6=648 км второй поезд
684+648=1332 км. расстояние между поездами