Question

По теорему виета x^2-10x+1=0 а) x1/x2 +x2/x1 б) x1x2^2 + x2x1^2 + x1x2 в) x1^3 + x2^3

Answer 1

Для квадратного уравнения: x²+bx+c=0, x₁,x₂- корни уравнения

Теорема Виета:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-b \\ x_1*x_2=c \end{matrix}\right.$

В данном случае 

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=10 \\ x_1*x_2=1 \end{matrix}\right.$

$1) \ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_1} =\frac{x_1^2+x_2^2}{1} =x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+2x_1x_2=\\ \\ =(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10^2-2*1=100-2=98 \\ \\ 2) \ x_1x_2^2 + x_2x_1^2 + x_1x_2=x_1x_2x_2+x_2x_1x_1+1=1*x_2+1*x_1+1=\\ \\ =x_2+x_1+1=10+1=11$

$3) \ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)= \\ \\ =10(x_1^2-x_1x_2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2)=10((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)= \\ \\ 10(10^2-3*1)=10*97=970$