Пошаговое объяснение:
a(n) = 3^n / √(2^n*(3n+1)) * x^n
a1 = 3/√(2*4)*x = 3/√8*x
a2 = 9/√(4*7)*x^2 = 9/√28*x^2
a3 = 27/√(8*10)*x^3 = 27/√80*x^3
Область сходимости можно найти по признаку Даламбера
lim(n->oo) a(n+1)/a(n) < 1
Сначала найдем дробь.
a(n+1) / a(n) = [3^(n+1)/√(2^(n+1)*(3(n+1)+1)*x^(n+1)] / [3^n/√(2^n*(3n+1)*x^n] =
= 3^(n+1)/3^n * √(2^n/2^(n+1)) * √((3n+1)/(3n+4)) * x^(n+1)/x^n =
= 3*√(1/2)*√((3n+4)/(3n+1))*x
Теперь ищем предел
lim(n->oo) 3/√2*√((3n+4)/(3n+1))*x < 1
Заметим, что:
lim(n->oo) (3n+4)/(3n+1) = 1
Поэтому получается:
lim(n->oo) 3/√2*x < 1
3/√2*x < 1
x < √2/3
x € (-√2/3; √2/3)
Положительные функции расположены над осью X, отрицательные - под осью X. Неотрицательные могут располагаться над осью X и на самой оси.
Обычно определяют интервалы, где функция положительная, а где отрицательная. Хотя бывают и такие, которые полностью положительные/отрицательные (например, квадратичная функция).
P.S. В квадратичной функции можно определить по коэффициенту a и значению дискриминанта.
(Всё ниже для a > 0, то есть ветви параболы направлены вверх)
Если D < 0, то корней нет, а значит функция не пересекает ось X, значит функция положительная.
Если D = 0, то корень только 1 (наименьшее значение), а значит функция неотрицательная.
Если D > 0, то 2 корня, значит, функция проходит и под осью X, что в свою очередь значит, что в функции есть промежутки, в которых y будет отрицательным.
