Question

Подскажите как решить уравнение - зная, что х один и х два являются корнями уравнения х в квадрате - х - 1 =0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются 1, деленная на х один и 1, деленная на х два

Answer 1

Исходное уравнении получается из общего a(x^2)+bx+c=0 если a = 1, b = -1, c=-1.
Корни уравнения можно найти как обычно: 
$x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{1+ \sqrt{1+4} }{2} =\frac{1+ \sqrt{5}}{2} \\ x_{2} = \frac{-b- \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{1- \sqrt{1+4} }{2} =\frac{1- \sqrt{5}}{2}$

Уравнение, корнями которого являются обратные величины в общем случае является:
$(x-\frac{1}{x_{1}})(x-\frac{1}{x_{2}}) = 0$

Привести к общему знаменателю выражения в скобках:

$(\frac{x \cdot x_{1} - 1}{x_{1}}) \cdot (\frac{x \cdot x_{2} - 1}{x_{2}}) = 0$

Теперь скобки можно перемножать:
$\frac{(x \cdot x_{1} - 1) \cdot (x \cdot x_{2} - 1)} {x_{1}x_{2}} = 0$

Теперь обе части умножаем на знаменатель (x1*x2):
$(x \cdot x_{1} - 1) \cdot (x \cdot x_{2} - 1) = 0$

Аккуратно раскрываем скобки:
$<img src=$" alt="(x_{1} x_{2}) \cdot x^{2} - (x_{1}+x_{2}) \cdot x+1 = 0" />" />

Можно вынести x за скобки:
$(x_{1} x_{2}) \cdot x^{2} - (x_{1}+x_{2}) \cdot x+1 = 0$