Найди количество целых значений m, при которых значение выражения -4+m(2x+x^2) не больше 2 для любых действительных значений x. в ответе укажите только число, без пробелов и каких-либо препинаний.
-4+m(x²+2x)≤2 Сразу же вырисовывается первое естественное решение - m=0 Тогда -4<2 независимо от х Поехали дальше. m(x²+2x)≤6 распадается на две системы - при m>0 и m<0
1) m>0 x²+2x≤6/m x²+2x-6/m≤0 получается неопределенное неравенство ( по крайней мере, я ничего не могу о нем сказать - неравенство с двумя , так сказать , переменными)
2) m<0 Это уже интересней
x²+2x≥6/m x²+2x-6/m≥0 как мы знаем, полный квадрат x²+2x+1≥0 для любых значений х, значит, если мы возьмем, чтобы -6/m≥1 в целых m, то задача будет решена Т.е. все целые значения от -6 до 1 - решения.
берем с минимума m=-6 1=1 m=-5 6/5>1 m=-4 6/4>1 m =-3 6/3>1 m=-2 6/2>1 m=-1 6/1>1 ну и , естественно, вначале было m=0 Итого 7 решений.
Чтобы найти количество целых значений m, при которых значение выражения -4+m(2x+x^2) не больше 2 для любых действительных значений x, нужно рассмотреть все возможные значения m и проверить выполнение неравенства для каждого из них.
Для начала, заметим, что выражение -4+m(2x+x^2) можно упростить. Раскроем скобки:
-4 + 2mx + mx^2
Теперь разберемся с условием неравенства, т.е. выражением "-4+m(2x+x^2) не больше 2". Перепишем его в виде неравенства:
-4 + 2mx + mx^2 ≤ 2
Теперь приведем это неравенство к квадратному виду, т.е. расположим все члены по убыванию степеней переменной x:
mx^2 + 2mx - 6 ≤ 0
Данное неравенство является квадратным неравенством. Чтобы решить его, нужно найти его корни.
Решение квадратного уравнения mx^2 + 2mx - 6 = 0 можно найти с помощью формулы дискриминанта:
D = (2m)^2 - 4m(-6)
D = 4m^2 + 24m
D = 4m(m + 6)
Дискриминант равен нулю, если m = 0 или m = -6. Если дискриминант меньше нуля, то корни уравнения отсутствуют, что означает, что неравенство mx^2 + 2mx - 6 ≤ 0 не имеет решений.
Рассмотрим все возможные значения m:
1) Если m = 0, то уравнение принимает вид -4 - 6 ≤ 0, что не выполняется. Значит, при m = 0 условие неравенства не выполняется.
2) Если m = -6, то уравнение принимает вид -6x^2 - 12x - 6 ≤ 0. Заметим, что знак коэффициента при x^2 отрицательный, что означает, что график параболы направлен вниз. Так как коэффициент при x^2 -6 отрицателен, это означает, что парабола проходит ниже оси OX и будет иметь решение, т.е. для любых действительных значений x выполняется неравенство -6x^2 - 12x - 6 ≤ 0.
3) Рассмотрим другие значения m. При всех остальных значениях m дискриминант D будет больше нуля, что означает, что уравнение mx^2 + 2mx - 6 = 0 имеет два различных корня. Такие уравнения не могут удовлетворять условию "для любых действительных значений x", а значит, и неравенство mx^2 + 2mx - 6 ≤ 0 тоже не будет выполняться для всех x.
Итак, мы видим, что при m = -6 условие неравенства выполняется, а при всех остальных значениях m - не выполняется.
Ответ: количество целых значений m, при которых значение выражения -4+m(2x+x^2) не больше 2 для любых действительных значений x равно 1.
