Question

Log4(x+5) + log4(x-5) = log4(5x - 19) решить логар. уравнение

Answer 1

$log_{4}(x+5)+log_{4}(x-5) = log_{4}(5x-19)$

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их аргументов:
$log_{4}((x+5)*(x-5)) = log_{4}(5x-19)$

Логарифмы с одинаковыми основаниями равны друг другу, значит, равны и их аргументы:
$(x+5)*(x-5) =5x-19$

Раскрываем скобки, все члены собираем в левой части и приводим подобные:
$x^{2} -5x-6=0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$x_{1,2} = \frac{5+/- \sqrt{25-4*1*(-6)} }{2*1} = \frac{5+/-7}{2} \\ x_{1} =-1 \\ x_{2} =6$

Теперь надо не забыть сделать проверку на область допустимых значений начального уравнения:
1) из $log_{4}(x+5)$ следует, что x > -5
2) из $log_{4}(x-5)$ следует, что x > 5
3) из $log_{4}(5x-19)$ следует, что x > 3,8
Итак, объединяя, получаем, что x ∈ (5;+∞). Откуда следует, что из двух полученных решений, этому неравенству удовлетворяет только одно решение, а именно $x_{2} =6$

ответ: х = 6