1. Чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f, необходимо показать, что производная функции F равна функции f. В данном случае, функция F(x) = x^5, а функция f(x) = 5x^4.
Для начала, найдем производную функции F(x):
F'(x) = 5x^4
Мы видим, что производная функции F совпадает с функцией f. Таким образом, функция F является первообразной для функции f на заданном промежутке (-∞;+∞).
2. Чтобы определить, является ли функция F первообразной для функции f, необходимо проверить, равна ли производная функции F функции f. В данном случае, функция F(x) = 5 - x^4, а функция f(x) = -4x^3.
Найдем производную функции F(x):
F'(x) = -4x^3
Мы видим, что производная функции F не совпадает с функцией f. Таким образом, функция F не является первообразной для функции f на заданном промежутке (-∞;+∞).
3. Чтобы найти общий вид первообразных для функций, даны следующие функции и необходимо найти их первообразные:
а)
- fx = 4
Для первообразной константы fx = 4, мы получаем F(x) = 4x + C, где C - произвольная константа.
- fx = 3.7
Для первообразной fx = 3.7, мы получаем F(x) = 3.7x + C, где C - произвольная константа.
- fx = 4x
Для первообразной fx = 4x, мы получаем F(x) = 2x^2 + C, где C - произвольная константа.
- fx = -4sinx
Для первообразной fx = -4sinx, мы получаем F(x) = 4cosx + C, где C - произвольная константа.
- fx = 3cosx
Для первообразной fx = 3cosx, мы получаем F(x) = 3sinx + C, где C - произвольная константа.
- fx = x^6
Для первообразной fx = x^6, мы получаем F(x) = (1/7)x^7 + C, где C - произвольная константа.
- fx = 4x^2
Для первообразной fx = 4x^2, мы получаем F(x) = (4/3)x^3 + C, где C - произвольная константа.
- fx = 2x^5
Для первообразной fx = 2x^5, мы получаем F(x) = (1/3)x^6 + C, где C - произвольная константа.
- fx = -3x^2
Для первообразной fx = -3x^2, мы получаем F(x) = -x^3 + C, где C - произвольная константа.
- fx = 1/корень x
Для первообразной fx = 1/корень x, мы получаем F(x) = 2√x + C, где C - произвольная константа.
- fx = 4/корень x
Для первообразной fx = 4/корень x, мы получаем F(x) = 8√x + C, где C - произвольная константа.
б)
- fx = 2 - x^4
Для первообразной fx = 2 - x^4, мы получаем F(x) = 2x - (1/5)x^5 + C, где C - произвольная константа.
- fx = x + cosx
Для первообразной fx = x + cosx, мы получаем F(x) = (1/2)x^2 + sinx + C, где C - произвольная константа.
- fx = 12 - x^4 + 2sinx
Для первообразной fx = 12 - x^4 + 2sinx, мы получаем F(x) = 12x - (1/5)x^5 - 2cosx + C, где C - произвольная константа.
- fx = 5x^2 - 9
Для первообразной fx = 5x^2 - 9, мы получаем F(x) = (5/3)x^3 - 9x + C, где C - произвольная константа.
P.S. Обратите внимание, что во всех ответах добавляется произвольная константа C, так как первообразная функция может отличаться от начальной функции на определенную константу.
Добрый день! Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и помочь вам разобраться в данной задаче.
Для начала, в данной задаче у нас есть дифференциальное уравнение вида "Y" -6y' +9y = 0, где y' обозначает производную функции y по переменной x.
Сначала рассмотрим уравнение "Y" -6y' +9y = 0 . Далее, для решения этого уравнения, перенесем все слагаемые на одну сторону:
"Y" + 9y = 6y'
Теперь наша задача состоит в том, чтобы выразить производную функции y от x, т.е. y', поэтому давайте продолжим преобразование уравнения:
6y' = "Y" + 9y
Теперь найдем производную от y' в обоих частях уравнения. Производная суммы равна сумме производных, поэтому:
6y' = "Y'" + 9y'
В данном случае, у нас y' не зависит от x (постоянная), поэтому y' = 1 (как указано в условии).
Заменим y' на 1 в уравнении:
6 = "Y'" + 9
Избавимся от кавычек, поскольку они обозначают производные (один раз применим формулу обратного преобразования):
9 = "Y'
Теперь у нас есть новое уравнение, которое можно решить. Очевидно, что 9 является константой, поэтому выражение "Y'" может быть считано как производная некоторой функции y по x, равной 9x (т.е. производная от 9x равна 9).
Теперь мы можем записать уравнение в более простой форме:
9 = 9
Так как данное уравнение выполняется для всех значений x, мы можем сделать вывод, что оба уравнения равны 9(константе). Итак, наше решение для данной задачи обозначается как Y = 9x.
Теперь перейдем к второй части задачи. У нас дано, что y = 1 (это начальное значение функции y) и y' = 1 при x = 0 (это начальное значение производной функции y).
Теперь, используя решение уравнения Y = 9x, подставим x = 0:
Y = 9 * 0
Y = 0
То есть, значение функции Y в точке x = 0 равно 0.
В итоге, решение данного дифференциального уравнения "Y" -6y' +9y = 0 с начальными условиями y = 1 и y' = 1 при x = 0 представляет собой функцию Y = 0 при всех значениях x.
Надеюсь, этот подробный ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
