ответ: 1) f(x)= sin 2x
f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x
f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x
f'''(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x
f(4)(x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x
2) f(x)=23x
f’(x)=3∙ 23x ∙ln2
f (x)= 9∙ 23x ∙ln22
f'''(x)= 27∙ 23x ∙ln32
f(4)(x)= 81∙ 23x ∙ln42
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2-3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.
найдём скорость точки в любой момент времени t.
v=S’=(3t2-3t+8)’=6t-3.
Вычислим скорость в момент времени t=4 c.
v(4)=6∙4-3=21(м/с)
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с2).
Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t3-3t2+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.
Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
v=S’=(t3-3t2+5)’=3t2-6t.
Тогда v(4)=3∙42-6∙4=24 (м/с).
Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t2-6t)’=6t-6.
Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с2).
F=ma=3∙18= 54 Н
ответ: F= 54 Н
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Напишите производную третьего порядка для функции:
f(x)= 3cos4x-5x3+3x2-8
Решим данную задачу:
f’’’(x)=( 3cos4x-5x3+3x2-8)’’’=(((3cos4x-5x3+3x2-8)’)’)’=((-12sin4x-15x2+6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.
ответ: 192sin4x-30
№ 2. Тип задания: выделение цветом
Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2+2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.
v=38 м/с; a=6 м/с2
v=38 м/с; a=5 м/с2
v=32 м/с; a=6 м/с2
v=32 м/с; a=5 м/с2
Решим данную задачу:
Воспользуемся механическим смыслом второй производ
Пошаговое объяснение:
Площадь квадрата АВСК равна квадрату длины его стороны. S = 2 *2 = 4 см2
А площадь АВСМ равна 4см2 + 4:2 = 6 см2 (потому что треугольники равны, 2 из них в квадрате, осталось только разделить на 2 (это будет площадь 3-го треугольника) и сложить площади квадрата и треугольника)