Question

При делении 500000000 на13 получили несколько цифр числа в неполном частном: какой будет следующая цифра в частном? сколько ещё цифр в частном можно записать,не выполняя деление?

Answer 1

8

одну

Пошаговое объяснение:

Числа 500000000 и 13 (простое число) взаимно простые, поэтому дробь

$\tt \displaystyle \frac{500000000}{13}$

является несократимой.

Применим следующую теорему о длине периода:

Если натуральное число m не делится на 2 и на 5, то период десятичной дроби, равной несократимой простой дроби n/m, начинается сразу после запятой. Его длина равна наименьшему d, при котором число, составленное из d девяток делится на m.

Рассмотрим числа составленные только из цифры 9:

9=3² не делится на 13;

99=3²·11¹ не делится на 13;

999=3³·37¹ не делится на 13;

9999=3²·11¹·101¹ не делится на 13;

99999=3²·41¹·271¹ не делится на 13;

999999=3³·7¹·11¹·13¹·37¹ делится на 13, тогда длина периода равна 6!

Так как дробь можно записать в виде:

$\tt \displaystyle \frac{500000000}{13}=\frac{5}{13} \cdot 100000000,$

то длина несократимой простой дроби $\tt \displaystyle \frac{5}{13}$ равна 6. Отсюда:

$\tt \displaystyle \frac{500000000}{13}=\frac{5}{13} \cdot 100000000=0,(384615) \cdot 100000000.$

В силу этого можно ответить поставленным вопросам:

3846153...: Какой будет следующая цифра в частном? 8, так как после 3 следует всегда 8.

3846153...: Сколько ещё цифр в частном можно записать, не выполняя деление? одну, так как умножается на 100000000=10⁸, а число 3846153 уже состоит из 7 цифр.