Question

Решить дифференциальное уравнение (1+y^2)dx=2xydy и найти его частное решение, удовлетворяющее условиям: при x=4, y=1

Answer 1

$(1+y^2)dx=2xydy|*\frac{1}{x(1+y^2)}\\\frac{dx}{x}=\frac{2ydy}{1+y^2}\\\frac{dx}{x}=\frac{d(1+y^2)}{1+y^2}\\\int\frac{dx}{x}=\int\frac{d(1+y^2)}{1+y^2}\\ln|x|=ln|1+y^2|+C\\ln|x|=ln|1+y^2|+ln|C|\\x=C(1+y^2)\\\frac{x}{1+y^2}=C\\y(4)=1:\frac{4}{2}=C\\C=2\\\frac{x}{1+y^2}=2\\\\\\\\\\(\frac{x}{1+y^2})'=2'\\\frac{(1+y^2)-2xyy'}{(1+y^2)^2}=0|*(1+y^2)^2\\(1+y^2)-2xyy'=0\\(1+y^2)=2xyy'\\(1+y^2)dx=2xydy$