Question

Решить и объяснить: доказать,что последовательность {bn} отличных от нуля чисел является прогрессией тогда и только тогда,когда при каждом n> =3 выполняется равенство (b1^2+b2^2++bn-1^2)(b2^2+b3^2++bn^2)=(b1b2+b2b3++bn-1bn)^2

Answer 1

Геометрическая прогрессия — это ещё один вид числовой последовательности. Общее по- нятие последовательности мы обсудили в предыдущей статье «Арифметическая прогрессия». Определение. Геометрическая прогрессия — это последовательность, первый член которой не равен нулю, а каждый последующий член равен произведению предыдущего члена на некоторое фиксированное ненулевое число (называемое знаменателем геометрической прогрессии). Например, последовательность 2, 6, 18, 54, . . . является геометрической прогрессией с пер- вым членом 2 и знаменателем 3. Последовательность 20, 10, 5, 5/2, . . . является геометрической прогрессией со знаменателем 1/2. Последовательность 1, −2, 4, −8 . . . является геометрической прогрессией со знаменателем −2. Эквивалентное определение: последовательность bn, состоящая из ненулевых чисел, называ- ется геометрической прогрессией, если частное bn+1/bn есть величина постоянная (не зависящая от n). Формула n-го члена геометрической прогрессии Геометрическая прогрессия полностью определяется первым членом и знаменателем. Выведем формулу n-го члена геометрической прогрессии. Пусть bn — геометрическая прогрессия со знаменателем q. Имеем: bn+1 = bnq (n = 1, 2, . . .). В частности: b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q 2 , b4 = b3q = (b1q 2 )q = b1q 3 , и тогда ясно, что bn = b1q n−1 . (1) Задача 1. Между числами 16 и 81 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Решение. Пусть q — знаменатель получившейся прогрессии. Число 81 будет её пятым членом, поэтому согласно формуле (1) имеем: 81 = 16q 4 , q 4 = 81 16 , q = ± 3 2 . Таким образом, имеются два решения: 16, 24, 36, 54, 81 и 16, −24, 36, −54, 81.