Question

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты: интеграл от -бескон до + бескон (cosxdx)/(1+x^4)

Answer 1

Вычислим предел интеграла
$\displaystyle\lim_{R\to\infty}\oint_{C_R}\frac{e^{iz}\,dz}{1+z^4}$ 
где интеграл берётся по контуру, состоящему из верхней полуокружности и отрезка [-R, R], обходимому в положительном направлении.

С одной стороны, этот интеграл можно представить в виде суммы интегралов по дуге и отрезку, притом в силу леммы Жордана интеграл по дуге стремится к нулю, так как
$\displaystyle\left|\frac1{1+z^4}\right|=o\left(\frac1{R^3}\right)$

С другой стороны, этот интеграл можно взять при вычетов. Под интегралом стоит мероморфная функция, имеющая простые полюсы в корнях 4-й степени из -1. В контур интегрирования попадают два из них, $e^{i\pi/4}$ и $e^{i3\pi/4}$. Значения вычета функции f(z) / g(z) в простом полюсе z=z0, если f(z) не имеет особенностей в точке z0, а g(z) дифференцируема, вычисляются по формуле f(z0) / g'(z0).

$\displaystyle\oint\dots=2\pi i \sum_j \mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=z_j}\frac{e^{iz}}{1+z^4}=2\pi i\left(\frac{e^{\frac 1{\sqrt2}(-1+i)}}{4(e^{i\pi/4})^3}+\frac{e^{\frac 1{\sqrt2}(-1-i)}}{4(e^{i3\pi/4})^3}\right)=\\=\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi i}2\left(e^{i\left(\frac 1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4\right)}+e^{i\left(\frac {-1}{\sqrt2}-\frac{\pi}4\right)}\right)$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x\,dx}{1+x^4}=\mathop{\mathrm{Re}}\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R\frac{e^{iz}\,dz}{1+z^4}=\mathop{\mathrm{Re}}\lim_{R\to\infty}\oint_{C_R}\frac{e^{iz\,dz}}{1+z^4}=\\=\mathop{\mathrm{Re}}\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi i}2\left(e^{i\left(\frac 1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4\right)}+e^{i\left(\frac {-1}{\sqrt2}-\frac{\pi}4\right)}\right)=$
$\displaystyle=-\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi}2\mathop{\mathrm{Im}}\left(e^{i\left(\frac 1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4\right)}+e^{i\left(\frac {-1}{\sqrt2}-\frac{\pi}4\right)}\right)=\\=-\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi}2\left(\sin\left(\frac1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4\right)-\sin\left(\frac1{\sqrt2}+\frac\pi4\right)\right)=\\=\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi}{\sqrt2}\left(\sin\left(\frac1{\sqrt2}\right)+\cos\left(\frac1{\sqrt2}\right)\right)$