Question

Всосуде находится 3 белых и 4 черных шара. шары извлекаются таким образом что каждый извлеченный шар возвращается обратно в сосуд. определить вероятность того, что при 250 извлечениях белый шар появится 100 раз. как решить

Answer 1

Вероятность появления белого шара p = 3/7, вероятность появления чёрного шара q = 4/7. Схема Бернулли: вероятность того, что успех случится 100 раз из 250, равна
$C_{250}^{100}p^{100}q^{250-100}$

Можно заморочиться и посчитать точно, что эта вероятность равна 636522120602316962436409895601286821518590002587367804667920915910562009586884711327793703549853115718094348743586401297080998337769446404536214437849453126758036855250784826528799004094645437287261942012968960/18815250448759004797747440398770460753278965824274520564699796772813240860593715176907610212053994345747048043436940455072863886866361465162101062196720299016151483118251038883996011300645825474625761742043131249 = 0,0338...

Однако считать это вручную — некоторая морока, поэтому проще воспользоваться приближенными методами. Например, подойдёт теорема Муавра-Лапласа. В соответствии с ней вероятность получить k успехов в n испытаниях Бернулли равна
$P_n(k)\approx\dfrac1{\sqrt{npq}}\varphi\left(\dfrac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)$,
где $\varphi(t)$ — функция Лапласа (плотность вероятности нормального распределения), значения которой берутся из таблицы.

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{250\cdot\dfrac37\cdot\dfrac47}\approx 7.8\\ \left|\dfrac{k-np}\sigma\right|\approx\dfrac{7.1}{7.8}\approx0.91\\ P_{250}(100)\approx\dfrac1{7.8}\cdot\varphi(-0.91)\approx\dfrac1{7.8}\cdot0.2637\approx0.0338$