Question

∫e^4x√e^4x-25dx решите подробно, , !

Answer 1

$\int\limits {e^{4x} \sqrt{e^{4x}-25} } \, dx$
Загоним $e^{4x}$ под дифференциал:
$e^{4x} dx = \frac{1}{4} d(e^{4x} )$

$\int\limits {e^{4x} \sqrt{e^{4x}-25} } \, dx = \frac{1}{4} \int\limits { \sqrt{e^{4x}-25} } \, d(e^{4x})= \frac{1}{4} \int\limits { \sqrt{e^{4x}-25} } \, d(e^{4x} -25)$

Под дифференциал мы добавили минус 25. Действительно, взяв производную, получаем:
$\frac{1}{4} \frac{d(e^{4x} -25)}{dx} = \frac{1}{4} * 4 *e^{4x}= e^{4x} \\ \\ \frac{1}{4} d(e^{4x} -25)= e^{4x} dx$

Т.о. интеграл приведён к табличному от степенной функции:
$\frac{1}{4} \int\limits { \sqrt{e^{4x}-25} } \, d(e^{4x} -25) = \frac{1}{4} \int\limits { (e^{4x}-25)^{ \frac{1}{2} } } \, d(e^{4x} -25) = \\ \\ = \frac{1}{4} \frac{1}{ \frac{1}{2}+1 } (e^{4x}-25)^{ \frac{1}{2}+1 } = \frac{1}{6} (e^{4x}-25)^{ \frac{3}{2} }+C$