Question

Дано уравнение одной из сторон квадрата x +3y -7 = 0 и точка пересечения его диагоналей m(0; -1) . найти уравнения трех остальных сторон квадрата.

Answer 1

Так как точка пересечения диагоналей М(0;-1) находится на
оси ОУ (х=0), то одна из диагоналей - ось ОУ.
Она пересекается с прямой х+3у-7=0 в точке с ординатой у=7/3
(х=0), являющейся вершиной квадрата.
Итак, одна из вершин имеет координаты А(0,7/3) .
Через точку А проходит вторая сторона квадрата AD, перпендикулярная первой стороне с уравнением х+3у-7=0, нормальный вектор которой 
имеет координаты n1=(1,3). Но n1 является для 2 стороны AD направляющим вектором. Тогда уравнение  стороны AD :

$\frac{x-0}{1}=\frac{y-\frac{7}{3}}{3} \; ,\; \; 3x=y-\frac{7}{3}\; \; \to \; \; \; \underline {9x-3y+7=0}$

Так как в точке пересечения диагоналей они делятся пополам, то координаты вершины С, лежащей на диагонали АМ, ищем из формул

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \; \; \to \; \; x_{C} =2x_{M}-x_{A}=2\cdot 0-0=0\\\\y_{N}=2y_{M}-y_{A}=2\cdot (-1)- \frac{7}{3}=-2-\frac{7}{3}=-\frac{13}{3} \; ,\; \; \; \underline {C(0,-\frac{13}{3})}$

Теперь осталось записать уравнение 3 и 4 сторон квадрата  (CB и CD), проходящих через точку С с направляющим вектором S=n1=(1,3) и нормальным вектором n=(1,3).

$CB:\; \; \frac{x-0}{1}=\frac{y+\frac{13}{3}}{3}\; \; ,\; \; 3x=y+ \frac{13}{3}\; \; \to \; \; \underline {9x-3y-13=0} \\\\CD:\; \; 1\cdot (x-0)+3\cdot (y+\frac{13}{3})=0\; \; , \; \; \underline {x+3y+13=0}$