Question

Сколько существует различных пар натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45? а. 1 б. 2 в. 3 г. 4 сколько существует натуральных чисел, которые в 7 раз больше своего наименьшего делителя, отличного от 1? а. 2 б. 3 в. 4 г. 5 по неподвижному эскалатору вова спускается за 12 секунд. если вова будет стоять на месте, то движущийся эскалатор поднимет его наверх за 20 секунд. сколько времени потребуется вове, чтобы спуститься по движущемуся вверх эскалатору?

Answer 1

1) Из условия задачи можно записать следующее равенство
$x^{2} - y^{2} =(x-y)(x+y)=45$
число 45 получается при умножении следующих чисел: 3 на 15; 5 на 9 (общие делители числа 45 - 3,5, 9,15). тогда получаем две системы уравнений

$\left \{ {{x-y=3} \atop {x+y=15}} \right.$
сложим первое со вторым уравнением, получаем 2х=18 ⇒ x=9; y=15-9=6
Первая пара чисел x=9 и y=6

$\left \{ {{x-y=5} \atop {x+y=9}} \right.$
сложим первое со вторым уравнением, получаем 2x=14 ⇒ x=7; y=9-7=2
Вторая  пара чисел x=7 и y=2

Итого 2 пары чисел, ответ Б)

2) Пусть x - натуральное число, y - наименьший делитель. Тогда по условию задачи можно записать
 ⇒ x=7y
Наименьшим делителем без повторений (возможности разложения, т. е. эти числа меньше или равны 7) будут следующие числа: 2, 3, 5, 7 
 4 числа ответ В)

3) Собственная скорость Вовы $Vv= \frac{1}{12}$ единиц длинны в секунду (1 - это весь путь)
Собственная скорость экскалатора $Va= \frac{1}{20}$ единиц длинны в секунду (1 - это весь путь)
Время спуска Вовы при движущемуся вверх эскалатору 
$t= \frac{1}{Vv-Va}= \frac{1}{ \frac{1}{12}- \frac{1}{20} } = \frac{240}{8}=30$ секунд