Question

Остаток от деления числа а на 3 равен 1, а от деления на 7 равен 6. чему равен остаток от деления числа а на 21? подробно и с пояснениями.

Answer 1

     Запишем условие в виде:
а = 3m + 1,
а = 7 n + 6
а = 21с + Х,
                  где m, n и с- неполные частные числа а при делении на 3;7 и 21 соответственно, а Х - искомый остаток. 
1. П е р в ы й   с п о с о б .
    Т.к. а - это одно и то же число, то 3m + 1 = 7n + 6
n = (3m - 5)/7. И нам надо подобрать такое целое m, чтобы n было также целым числом.
   Затем найти а и Х
    Если: 
m = 4       n = 1    a = 13    13 : 21 = 0 (13 ост.)     с = 0   Х = 13
m = 11     n = 2    а = 34     34 : 21 = 1(13 ост.)     с = 1    Х = 13
m = 18     n = 3    a = 55     55 : 21 = 2 (13 ост.)    с = 2   X = 13
m = 25     n = 4    a = 76     76 : 21 = 3 (13 ост.)    с = 3   X = 13
   ответ: остаток 13
2. В т о р о й   с п о с о б.

$\displaystyle \left \{ {{a=3m+1} |*7 \atop \\ {a=7n+6}|*6} \right.$
  Умножим первое уравнение на 7, второе на 6 и вычтем из первого произведения второе:
$\displaystyle \left \{ {{7a=21m+7} \atop {6a=42n+36}} \right.|-$
_______________________________________________
 a = 21(m - 2n) - 29
т.к. по условию мы делим число на 21, чтобы найти остаток, то его остаток не изменится, если мы будем делить число на 42 единицы больше или меньше: увеличится(или уменьшится) только неполное частное.
a  - 42 = 21*(m - 2n - 2) -29
а = 21*(m - 2n - 2) + 42 - 29
a = 21*(m-2n-2) + 13
a = 21*c + 13, где с = m - 2n - 2
т.е, сравнивая с заданным в условии а = 21с + Х, видим, что Х = 13
ответ: Х = 13