Question

Решить . нужно найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости, координаты точек перегиба. y = -x^3+9x^2-24x+21

Answer 1

Для нахождения интервалов монотонности (т.е. возрастания и убывания) и точек экстремума нам нужна первая производная, а для интервалов выпуклости и вогнутости и координат точек перегиба - вторая производная.

$y = -x^3+9x^2-24x+21$

$y' = -3x^2+18x-24$

$y'' = -6x+18$

Приравниваем первую производную к нулю, решаем получившееся уравнение и тем самым находим абсциссы критических точек:

$-3x^2+18x-24=0 \\ x^2-6x+8=0 \\ D/4=9-8=1 \\ x=3б1 \\ x_1=2 \\ x_2=4$

Чертим числовую ось, отмечаем на ней точки 2 и 4 и исследуем поведение производной на получившихся интервалах:
подставляем в нее значение х меньше 2 (например, 0):
$y'(0)=-3*0^2+18*0-24=-24$
Получили отрицательное значение производной на участке левее 2 (ставим там минус).
Дальше подставляем в производную х между 2 и 4 (например, 3):

$-3*3^2+18*3-24=-27+54-24=3$
Полученное значение больше нуля. Ставим над координатной прямой на участке между 2 и 4 плюс.
Проверяем участок правее 4. Подставляем в уравнение производной число больше 4 (например, 10):

$-3*10^2+18*10-24=-300+180-24=-144$
Получено отрицательное значение производной. Правее 4 ставим минус.
Получается, что анализируемая функция убывает на участке (-∞; 2) - ставим стрелочку вниз; возрастает на участке (2; 4) - ставим стрелочку вверх; убывает на участке (4; +∞) - ставим снова стрелочку вниз.
Итак, точка 2 - это минимум функции, а точка 4 - ее максимум.
Можем вычислить значение функции в этих точках (точках экстремума):

$y_{min}= y(2)=-2^3+9*2^2-24*2+21= \\ =-9+36-48+21=0 \\ \\ y_{max}= y(4)=-4^3+9*4^2-24*4+21= \\ =-64+144-96+21=5$

Теперь начинаем аналогичную работу со второй производной: приравниваем ее к нулю, решаем уравнение, полученные значения отмечаем на новой координатной прямой - это предполагаемые точки перегиба. Если в этих точках знак второй производной меняется (с плюса на минус или наоборот - с минуса на плюс), то это действительно точки перегиба. Если вторая пр-я на участке отрицательна, то график функции на этом участке выпуклый, если положительна - то вогнутый.
Начнем:

$-6x+18=0 \\ x-3=0 \\ x=3$

Подставим в формулу второй производной сначала число, меньшее 3, потом - большее. Пусть это будут числа 0 и 5:

$y''(0)=-6*0+18=18\ \textgreater \ 0 \\ y''(5)=-6*5+18=-12\ \textless \ 0$

Т.е.  точка 3 действительно оказалась точкой перегиба: левее нее график функции вогнутый, правее - выпуклый. Значение функции в этой точке равно
$y(3)=-3^3+9*3^2-24*3+21=-27+81-72+21=3$

Всё. Конец.