Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.
Решение: Найдем уравнение касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1. Уравнение касательной записывается по формуле
y(x)=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀)
Найдем значение y(x₀)
y(x₀) = х₀/(2х₀ — 1) Так как х₀=1, то y(1) = 1/(2*1 — 1)=1 Найдем производную функции Значение производной функции в точке x₀=1 y'(1)=-1/(2*1-1)²=-1 Запишем уравнение касательной
y =-(x-1)+1=-x+2 Данная прямая имеет две точки пересечения с осями координат При х=0 у=2 и х=2 у=0 (0;2) и (2;0) Найдем площадь треугольника через интеграл так как площадь фигуры ограничена прямой касательной с пределами интегрирования от х₁=0 до х₂=2
Или найти площадь прямоугольного треугольника( так как оси координат имеют угол 90⁰) с катетами равными 2 S=(a*b)/2=2*2/2=2
Пусть А - начало координат Ось X -AB Ось Y -AD Ось Z- AA1 Координаты интересующих точек В(1;0;0) D1(0;1;1) C(1;1;0) B1(1;0;1) C1(1;;1;1) А1(0;0;1) Направляющий вектор BD1 (-1;1;1) Уравнение плоскости АСВ1 аx+by+cz=0 проходит через 0 Подставляем координаты точек а+b=0 a+c=0 Пусть а= -1 тогда b=1 c=1 Уравнение -x+y+z=0 Угол между BD1 и плоскостью sin a = | -1*-1+1*1+1*1|/(√3*√3)= 1 a = 90 что и требовалось доказать
![S_{TP}= \int\limits^2_0 {(-x+2)} \, dx=(- \frac{x^2}{2}+2x) \left[\begin{array}{ccc}2\\0\end{array}\right]= - \frac{2^2}{2}+2*2=2](/tpl/images/0775/6294/ffaa8.png)
2+2+4+4=12см
Площадь
2×4=8см^2