Question

44 . решите уравнение методом крамера. x-4y-2z=-3 3x+y+z=5 3x-5y-6z=-7 у меня в ответе получается так главный определитель = -49 x=-53 y=-14 z=-72 но они не делятся на 49 немного не понимаю как должно решаться это ,

Answer 1

$\begin{cases} x-4y-2z=-3 \\ 3x+y+z=5 \\ 3x-5y-6z=-7. \end{cases}$

$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=s_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=s_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=s_3. \end{cases}$

$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}$

$D=\begin{vmatrix} 1 & -4 & -2\\ 3 & 1 & 1\\ 3 & -5 & -6 \end{vmatrix}$

$D = 1 (1 \cdot (-6) - (-5) \cdot 1) - (-4) (3 \cdot (-6) - 3 \cdot 1) + \\ + (-2) (3 \cdot (-5) - 3 \cdot 1)} =(-6+5)+4(-18-3)-2(-15-3) = \\ = 1\cdot (-1) + 4 \cdot(-21) -2\cdot(-18) =-1 - 84 + 36 = -49$

$D \neq 0$, значит система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить ещё три определителя:

$D_1 = \begin{vmatrix} s_1 & a_1 & b_1 \\ s_2 & a_2 & b_2\\ s_3 & a_3 & b_3\end{vmatrix}, D_2 =\begin{vmatrix} a_1 & s_1 & c_1\\ a_2 & s_2 & c_2\\ a_3 & s_3 & c_3 \end{vmatrix} , D_3 = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & s_1\\ a_2 & b_2 & s_2\\ a_3 & b_3 & s_3 \end{vmatrix}$

$D_1 = \begin{vmatrix} -3 & -4 & -2 \\ 5 & 1 & 1\\ -7 & -5 & -6\end{vmatrix} \\ \\ D_1 = -3\cdot(1 \cdot (-6) - (-5)\cdot 1) - (-4)\cdot(5 \cdot (-6) - (-7) \cdot 1) +\\+ (-2)\cdot(5\cdot(-5)-(-7)\cdot1) = -3\cdot(-6+5)+4\cdot(-30+7)-\\-2\cdot(-25+7)=-3\cdot(-1)+4\cdot(-23)-2\cdot(-18)=\\=3-92+36=-53$

$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2\\ 3 & 5 & 1\\ 3 & -7 & -6 \end{vmatrix} \\ \\ D_2 = 1\cdot(5 \cdot (-6) - (-7)\cdot 1) - (-3)\cdot(3 \cdot (-6) - 3 \cdot 1) +\\+ (-2)\cdot(3\cdot(-7)-3\cdot5) = (-30+7)+3\cdot(-18-3)-2(-21-15)=\\=-23+3\cdot(-21)-2\cdot(-36)=-23-63+72=-14$

$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & -3\\ 3 & 1 & 5\\ 3 & -5 & -7 \end{vmatrix} \\ \\ D_3 = 1\cdot(1 \cdot (-7) - (-5)\cdot 5) - (-4)\cdot(3 \cdot (-7) - 3 \cdot 5) +\\+ (-3)\cdot(3\cdot1-3\cdot(-5)) = (-7+25)+4\cdot(-21-15)-3\cdot(3-15)=\\=18+4\cdot(-36)-3\cdot(-18)=18-144+54=-72$

ответ рассчитывается по формулам:
$x=\frac{D_1}{D},y=\frac{D_2}{D},z=\frac{D_3}{D}$

$x=\frac{-53}{-49}=\frac{53}{49}\\ \\y=\frac{-14}{-49}=\frac{14}{49}\\ \\z=\frac{-72}{-49}=\frac{72}{49}$