18_03_06_Задание № 3:
Вставьте пропущенные цифры так, чтобы четырёхзначное число 26** делилось и на 8, и на 12, и на 15. Какая цифра будет на предпоследнем месте?
РЕШЕНИЕ: Число делится на 8, значит в частности делится на 2. Число делится на 15, значит в частности делится на 5.
Число делится на 2 и на 5, значит делится на 0. Последняя цифра 0. Рассматриваем число 26*0.
Число делится на 15, значит в частности делится на 3. Сумма цифр должна быть кратна 3. Это произойдет при * = 1, 4 или 7.
Число делится на 8, значит в частности делится на 4. Две последние цифры должны образовывать число, делящееся на 4. Это произойдет при четной *.
Единственная цифра, удовлетворяющая последним двум условиям - это цифра 4.
ОТВЕТ: 4
Задача 1.
ДАНО: b₁ * b₂ = 27, b₃ * b₄ = 1/3
НАЙТИ: b₁=? q=?
РЕШЕНИЕ
1) b₁*b₂ = b₁² * q = 27 = 3³ - первое уравнение
2) b₃*b₄ = b₁*q² * b₁*q³ = b²₁*q⁵ = 3⁻¹ - второе уравнение.
РАЗДЕЛИЛИ УРАВНЕНИЯ - ур. 3 = ур.2 : ур.1
3) q⁵/q = q⁴ = 1/3 : 27 = 1/81
Находим неизвестное - q
4) q = ⁴√(1/81) = 1/3 - знаменатель прогрессии.
Подставим в ур. 1 и находим первый член прогрессии.
5) b₁² = 27/q = 27/(1/3) = 81, b₁ = 9 - первый член прогрессии.
Находим члены прогрессии.
В={9, 3, 1, 1/3 } - ОТВЕТ
Задача 2.
ДАНО
1) a + (a + 4*d) = 51
2) (a+d) + (a + 5*d) = 102
НАЙТИ: N=? (S=3069)
РЕШЕНИЕ
Упрощаем исходные уравнения.
3) 2*a + 4*d = 51
4) 2*a + 6*d = 102
ВЫЧИТАЕМ уравнения.
5) 2*d = 102-51 = 51 и d = 25.5 - разность прогрессии.
Находим первый член прогрессии - подставим в ур. 3)
6) 2*а = 51 - 4*d = 51 - 4*25.5 = - 51
а = - 25,5 - первый член прогрессии.
Проверочка.
а₁ = 0 и а₅ = 76,5 и сумма а₁+а₅ = 51 - правильно.
а₂ = 0 и а₆ = 102 - правильно.
Находим сумму членов прогрессии по формуле: S = (a₁ + an)/2 * n/2
(2*a + (n-1)*d)*n/4 = (- 51 +25.5*n- 25.5)* n = 3069*2
25.5*n² - 76.5*n - 6138 = 0
Решаем квадратное уравнение и получаем корни
n₁ = 17.087 и n₂ = - 14.087 (второй вариант решения)
Округляем и получаем: S17 = 3034.5 или S18 = 3442.5.
или S(-15) = 3442.5 и S(-14) = 3034.5
Что-то с красивым ответом не получается - сумма в 3069 - не получится - ответ
2) 30 + 13 = 43 (шк.)
ответ: всего в соревнованиях участвовало 43 школы.