Question

Квадрат со стороны 100 разрезали на квадраты ( не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходно квадрата и меньшими 10. докади, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400.

Answer 1

Для того, чтобы это доказать, выберем сторону квадрата, при которой выходит наибольшая площадь с наименьшим периметром. И, если для него сможем доказать, что сумма периметров не меньше 4400, то для остальных это уже будет очевидно.

a - сторона
S = a*a - площадь
P = 4*a - периметр

$a\quad\quad\quad\quad \text{S} \quad\quad\quad\quad \text{P}\\1\quad\quad\quad\quad1 \quad\quad\quad\quad 4\\2\quad\quad\quad\quad 4\quad\quad\quad\quad8\\\quad\quad\quad\quad3\quad\quad\quad\quad9\quad\quad\quad\quad12\\\quad\quad\quad\quad4\quad\quad\quad\quad16\quad\quad\quad\,\,\,16\\\quad . \quad\quad\quad\quad\,\,.\quad\quad\quad\quad\,\,.\\\quad . \quad\quad\quad\quad\,\,.\quad\quad\quad\quad\,\,.\\9\quad\quad\quad\quad81\quad\quad\quad\,\,\,36$

Самый "невыгодный" для нас вариант, когда сторона равна 9.
Площадь всего квадрата: 100 * 100 = 10000
Значит, всего можно вместить квадратов, со стороной 9:

$\displaystyle S=\frac{10000}{81}\approx123$

Общий периметр этих квадратов: 

$P=123*36=4428\\\\4428\ \textgreater \ 4400$

Очевидно, что сумма периметров для остальных сторон будет не меньше 4400.

Доказано.