Question

Решить коши : y''+2y'-8y=0, y(0)=4, y'(0)=-4

Answer 1

Однородное уравнение. Пусть у=е^(кх).

к²+2к-8=0 => (к+1)²=9
к=2 и к=-4

y=C1*e^(2x) + C2*e^(-4x) - общее решение однородного уравнения

y' = 2C1*e^(2x) - 4C2*e^(-4x)

{4=C1+C2
{-4=2C1-4C2

{4=C1+C2
{-2=C1-2C2

Отнимем первое уравнение от второго

6=3C2 => C2=2

C1=4-C2=4-2=2

y=2*e^(2x) + 2*e^(-4x) - частное решение

Answer 2

$\displaystyle y``+2y`-8y=0$

ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\displaystyle k^2+2k-8=0\\\\D=4+32=36\\\ k_{1.2}= \frac{-2\pm 6}{2}\\\\k_1=2; k_2=-4$

тогда общее решение будет 

$\displaystyle y=C_1e^{-4x}+C_2e^{2x}$

теперь найдем частное решение

y(0)=4 и y`(0)=-4

найдем значение при х=0

$\displaystyle y(0)=C_1e^{-4*0}+C_2e^{2*0}=C_1+C_2=4$

теперь найдем производную

$\displaystyle y`=-4C_1e^{-4x}+2C_2e^{2x}\\\\y`(0)=-4C_1+2C_2$

теперь решим систему

$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2=4} \atop {-4C_1+2C_2=-4}} \right.\\\\ \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {-4(4-C_2)+2C_2=-4}} \right.\\\\-16+4C_2+2C_2=-4\\\\6C_2=12\\\ C_2=2 \\\ C_1=4-2=2$

тогда частное решение

$\displaystyle y=2e^{-4x}+2e^{2x}$