Давайте разберемся с вопросом и найдем промежутки знакопостоянства функции f(x) = (x^2 - 4x - 5) / (9 - x^2).
При решении таких задач важно обратить внимание на следующее:
1. Домен функции: функция f(x) определена при любых значениях x, кроме тех, при которых делитель равен нулю. Из уравнения 9 - x^2 = 0 получаем x^2 = 9, откуда x = ±3. Таким образом, домен функции f(x) - это все значения x, кроме -3 и 3.
2. Анализ знаков в числителе: рассмотрим знак числителя x^2 - 4x - 5. Для этого решим его равенство x^2 - 4x - 5 = 0. Дискриминант такого уравнения равен D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36, что является положительным значением. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня x1 и x2. Мы можем найти их, применив квадратное уравнение:
3. Анализ знаков в знаменателе: рассмотрим знак знаменателя 9 - x^2. Для этого решим неравенство 9 - x^2 > 0. Из этого неравенства у нас получается, что x принадлежит интервалам (-∞, -3) и (-3, 3).
Теперь мы можем построить таблицу знаков для знаменателя:
Мы видим, что числитель f(x) положительный на интервалах (-∞, -3) и (3, ∞), а отрицательный на интервале (-3, 3). Таким образом, промежутки знакопостоянства функции f(x) можно записать следующим образом:
f(x) > 0 при x < -3 и x > 3,
f(x) < 0 при -3 < x < 3.
Это значит, что функция положительна за пределами интервала [-3, 3], а отрицательна на этом интервале.
При решении таких задач важно обратить внимание на следующее:
1. Домен функции: функция f(x) определена при любых значениях x, кроме тех, при которых делитель равен нулю. Из уравнения 9 - x^2 = 0 получаем x^2 = 9, откуда x = ±3. Таким образом, домен функции f(x) - это все значения x, кроме -3 и 3.
2. Анализ знаков в числителе: рассмотрим знак числителя x^2 - 4x - 5. Для этого решим его равенство x^2 - 4x - 5 = 0. Дискриминант такого уравнения равен D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36, что является положительным значением. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня x1 и x2. Мы можем найти их, применив квадратное уравнение:
x1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5,
x2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1.
Теперь, учитывая полученные значения x1 = 5 и x2 = -1, мы можем построить таблицу знаков для числителя:
-∞ -1 5 ∞
--------|-------------|-----------------|-------------|-----------------|--------
+ | - | + | - | - |
--------|-------------|-----------------|-------------|-----------------|--------
3. Анализ знаков в знаменателе: рассмотрим знак знаменателя 9 - x^2. Для этого решим неравенство 9 - x^2 > 0. Из этого неравенства у нас получается, что x принадлежит интервалам (-∞, -3) и (-3, 3).
Теперь мы можем построить таблицу знаков для знаменателя:
-∞ -3 3 ∞
--------|--------------|---------------|-------------|--------------------
- | - | + | - |
--------|--------------|---------------|-------------|--------------------
Теперь мы можем объединить табличку знаков числителя и знаменателя.
-∞ -3 3 ∞
--------|--------------|---------------|-------------|----------------------
+ | - | + | - |
--------|--------------|---------------|-------------|----------------------
Мы видим, что числитель f(x) положительный на интервалах (-∞, -3) и (3, ∞), а отрицательный на интервале (-3, 3). Таким образом, промежутки знакопостоянства функции f(x) можно записать следующим образом:
f(x) > 0 при x < -3 и x > 3,
f(x) < 0 при -3 < x < 3.
Это значит, что функция положительна за пределами интервала [-3, 3], а отрицательна на этом интервале.