Question

Докажите методом индукции 1/1*4+1/4*7++1/(3n-2)(3n+1)=n/3n+1

Answer 1

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \dfrac{n}{3n+1}$
Имеем $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$, Следовательно, утверждение верно при n=1.

Пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.
  $\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \dfrac{k}{3k+1}$

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \dfrac{k+1}{3k+4}$

Или в самом деле 
         $\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}+ \dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\~~~~~~\dfrac{k}{3k+1}+\dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\ ~~~~~~~~\dfrac{3k^2+4k+1}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\~~~~~~~~~ \dfrac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{k+1}{3k+4}=\dfrac{k+1}{3k+4}$

На основании принципа математической индукции заключаем, что предпо-ложение истинно для любого n ∈ N.