Question

Определить тип дифференциального уравнения и его метод решения

Answer 1

1. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, с разделяющимися переменными.
    $\displaystyle \frac{dy}{1+y^2}= \frac{dx}{1+x^2}~~~~~\Rightarrow~~~~ \int \frac{dy}{1+y^2}= \int\frac{dx}{1+x^2}\Rightarrow~~~ arctg y=arctgx+C$

                                   $y=tg(arctgx+C)$  - общее решение ДУ.

2. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, однородное.
Можно убедиться, что данное ДУ является однородным, воспользовавшись условием однородности.
                                  $\displaystyle (\lambda y)^2+(\lambda x)^2y'=\lambda^2xyy'\\ \\ ~~~~~~~~y^2+x^2y'=xyy'$

Положим $y=ux$. Дифференцируя по правилу произведения: $y'=u'x+u$, имеем
                              $u^2x^2+x^2(u'x+u)=ux^2(u'x+u)\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0\\ \\ ~~~~u^2+u'x+u=uu'x+u^2\\ \\ ~~~~~~~~~u'x(u-1)=u$
Последнее уравнение это ДУ с разделяющимися переменными
  $\displaystyle \frac{(u-1)du}{u} = \frac{dx}{x}~~~~~ \Rightarrow~~~~~ \int\bigg(1- \frac{1}{u} \bigg)du=\int \frac{dx}{x} ~~\Rightarrow~~\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~ u-\ln|u|=\ln|x|+C$
Получили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x)

Запишем теперь общий интеграл для нашего ДУ, осуществив замену u=y/x.
                               $\dfrac{y}{x} -\ln\bigg|\dfrac{y}{x}\bigg |=\ln|x|+C \\ \\ \dfrac{y}{x} -\ln|y|+\ln|x|=\ln|x|+C$

                      $\dfrac{y}{x} -\ln|y|=C$ - ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ.