Question

Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел кратных пяти, начиная с 5 можно сложить, чтобы сумма была меньше 765

Answer 1

5; 10; 15; 20; ....

Рас­смот­рим эту ариф­ме­ти­че­скую про­грес­си­ю с пер­вым чле­ном а₁=5 и раз­но­стью d=5 

n - число натуральных чисел

ОДЗ: n ∈ N 

Сумма  S пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по формуле:

$S_{n}= \frac{2 a_{1}+(n-1) }{2}*n$

в нашем слу­чае

$S_{n}= \frac{2*5+(n-1)*d}{2}*n= \frac{10+5n-5}{2}*n= \frac{5 n^{2}+5n }{2}$

По условию 

$\frac{5 n^{2} +5n}{2}\ \textless \ 765$

Найдем наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства . Для этого найдём корни урав­не­ния:

$\frac{5 n^{2}+5n }{2} =765$

5n² + 5n = 765*2

5n² + 5n - 1530 = 0

n² + n - 306 = 0

D = b² - 4ac

D = 1² - 4 * 1 * (-306) = 1225

√D = √1225 = 35

n₁ = (-1 - 35)/2 = - 18 отрицательное значение не удовл. ОДЗ

n₂ = (-1 + 35)/2 = 17  - удовлетворяет ОДЗ

При n=17 сумма 17 сла­га­е­мых равна 765. 

Следовательно, наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет мень­ше 765, равно 16.

n<17   =>  n=16

ответ:  n=16