Question

Срисунком в гранях двугранного угла проведены прямые а и b, параллельные его ребру, на расстоянии 10 см и 6см от него соответственно. найти величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми a и b равно 14см. 3)
равносторонний треугольник авс лежит в одной из граней двугранного угла, а сторона ав принадлежит его ребру. найти величину двугранного угла, если расстояние от вершины с треугольника до другой грани равно 2см, а сторона
треугольника 8корней из 3 деленное а 3 5) равносторонний треугольник аве и квадрат авсд лежат в гранях двугранного угла с ребром ав. найти величину двугранного угла если ав=4корней из 2см, ед=4см

Answer 1

1) Получаем треугольник AOB (см.рис1), стороны которого нам известны (AO=10 см, BO = 6 см, AB = 14 см). Из этого треугольника по теореме косинусов:

$\\AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos\hat{AOB}\Rightarrow\\\cos\hat{AOB}=\frac{AO^2+BO^2-AB^2}{2\cdot AO\cdot BO}=\frac{100+36-196}{2\cdot10\cdot6}=-\frac{60}{120}=-\frac12\Rightarrow\\AOB=\frac{2\pi}3=120^0$.

2) (см.рис2) Угол CDO - прямой, т.к. CD - расстояние от вершины С до грани угла (перпендикуляр). Значит, треугольник COD - прямоугольный, CO - гипотенуза. В то же время CO - высота равностороннего треугольника ABC. $\\CO=\frac{\sqrt3}2\cdot a=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{8\sqrt3}3=4$

Из треугольника COD по определению синуса, синус угла COD равен отношению противолежащего катета CD к гипотенузе CO sinO= 2/4 = 1/2. То есть $COD=\frac{\pi}6=30^0$

3) (см.рис3) В треугольнике EOF сторона EO - это высота равностороннего трегольника ABE $EO=\frac{\sqrt3}2\cdot AE=\frac{\sqrt3}2\cdot4\sqrt2=2\sqrt6$

Сторона OF равна стороне квадрата, DF равна половине стороны квадрата (OF - средняя линия ABCD), сторону EF найдём из прямоугольного треугольника EFD (EF перпендикуляр к CD => EFD - прямоугольный, ED - гипотенуза): $EF=\sqrt{ED^2-DF^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt2$.

Тогда из треугольника EOF по тереме косинусов:

$\\EF^2=OE^2+OF^2-2\cdot OE\cdot OF\cdot\cos\hat{EOF}\Rightarrow\\\cos\hat{EOF}=\frac{OE^2+OF^2-EF^2}{2\cdot OE\cdot OF}=\frac{24+32-8}{2\cdot2\sqrt6\cdot4\sqrt2}=\frac{48}{16\sqrt{12}}=\frac{48}{32\sqrt3}=\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}2\\\Rightarrow \hat{EOF} = \frac{\pi}6=30^0$