Question

Решите систему: {3xy+2=y^3/x {2xy+1=x^3/y

Answer 1

$\left \{ {{3xy+2= \frac{y^3}{x} \, |\cdot x} \atop {2xy+1= \frac{x^3}{y}\, |\cdot y}} \right. \; \; \; \; ODZ:\; \; \; x\ne 0\; ,\; \; y\ne 0\\\\\left \{ {{3x^2y+2x=y^3} \atop {2xy^2+y=x^3}} \right. \; \; (1\times 2) \; \; \left \{ {{(3x^2y+2x)\cdot (2xy^2+y)=x^3y^3} \atop {2xy^2+y=x^3}} \right. \\\\ \left \{ {{6x^3y^3+3x^2y^2+4x^2y^2+2xy=x^3y^3} \atop {2xy^2+y=x^3}} \right. \; \; \left \{ {{5(xy)^3+7(xy)^2+2(xy)=0} \atop {2xy^2+y-x^3=0}} \right. \\\\t=xy\ne 0\; ,\; \; \; 5t^3+7t^2+2t=0\; ,\; \; t\cdot (5t^2+7t+2)=0$

$t\ne 0\; \; \; ili\; \; \; 5t^2+7t+2=0\\\\D=49-4\cdot 5\cdot 2=9\\\\t_1=\frac{-7-3}{10}=-1\; \; ,\; \; t_2=\frac{-7+3}{10}=\frac{-4}{10}=- \frac{2}{5} \\\\a)\; \; xy=-1\; ,\; \; y=-\frac{1}{x}\\\\2xy^2+y-x^3=2x\cdot (-\frac{1}{x})^2-\frac{1}{x}-x^3=\frac{2x}{x^2}-\frac{1}{x}-x^3=\\\\=\frac{2}{x}-\frac{1}{x}-x^3=\frac{1}{x}-x^3=\frac{1-x^4}{x}\\\\\frac{1-x^4}{x}=0\; \; \; \Rightarrow \quad \left \{ {{1-x^4=0} \atop {x\ne 0}} \right. \\\\1-x^4=0\; ,\; \; (1-x^2)(1+x^2)=0\; ,\; \; (1-x)(1+x)(1+x^2)=0\; \to$

$1-x=0\; \; \; ili\; \; \; 1+x=0\; \; \; (1+x^2\ \textgreater \ 0)\\\\x_1=1\; ,\; \; x_2=-1\\\\y_1=-\frac{1}{x}=-1\; ,\; \; y_2=1\\\\b)\; \; xy=-\frac{2}{5}\; ,\; \; \; y=-\frac{2}{5x}\\\\2xy^2+y-x^3=2x\cdot (-\frac{2}{5x})^2-\frac{2}{5x}-x^3=2x\cdot \frac{4}{25\, x^2}-\frac{2}{5x}-x^3=\\\\=\frac{8}{25\, x}-\frac{2}{5x}-x^3=\frac{8-10-25x^4}{25x}=\frac{-2-25x^4}{25x} =-\frac{25x^4+2}{25x} \\\\-\frac{25x^4+2}{25x}=0\; \; \Rightarrow \; \; \left \{ {{25x^4+2=0} \atop {x\ne 0}} \right. \; \; \left \{ {{x^4=-\frac{2}{25}} \atop {x\ne 0}} \right.$

$Tak\; kak\; \; x^4 \geq 0\; ,\; to \; \; x^4\ne - \frac{2}{25}\; .\\\\Resenij\; sistema\; ne\; imeet\; .\\\\Otvet:\; \; (-1,1)\; ,\; \; (1,-1)\; .$

Answer 2

Task/27047563 

Решите систему : { 3xy +2 = y³/x ,     
                              { 2xy +1 = x³/y .     

ОДЗ : { x ≠ 0 ; y ≠0 .
Умножаем  первое уравнение на второе ,получим: 
6(xy)²+4xy +2 =(xy)²  ⇔
5(xy)²+7xy +2 =0     квадратное уравнение относительно  t = xy 
* * *  5t² +7t +2 =0  ⇒t₁ = -2/5 ; t₂ = -1  * * *
[ xy  = - 2/5 ,
[ xy =  -1 .   
* * * Умножая  каждое уравнение системы на xy система перепишем в другом виде * * *
{ 3xy +2 = y³/x ,       { xy(3xy +2) = y⁴ ,  
{ 2xy +1 = x³/y ; ⇔  { xy(2xy +1) = x⁴    ;  

а)
Если   xy  = - 2/5  левые части уравнений  отрицательные , правые положительные ⇒ нет решений . 

б)
xy  = - 1  .  ( ⇒  x  и  y  разных  знаков  ! )
{1 = y⁴ ,      { y² =1 ,      { y = ±1 ,
{1 =x⁴ ; ⇔  { x² = 1; ⇔ { x = ±1 .
учитывая , что x  и  y  разных  знаков ,окончательно получаем :  

ответ : (-1 ;1) , (1 ; -1). 
* * * * * * * P.S. * * * * * * * 
t⁴ =1 ⇔(t²)² -1² =0⇔(t² -1)(t²+1) =0 ⇔(t -1)(t+1)= 0