Question

Исследовать и построить следующий график функции y=(x^2+1)/(x^2-1)

Answer 1

ДАНО
Y(x) =(x²+1)/(x²-1)
ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x).  x²≠1,  x ≠ +/-1. - два разрыва.

Х∈(-∞;-1)∪(-1;+1)∪(1;+∞). Две вертикальные асимптоты:  х=-1 и х=1. 

2. Пересечение с осью Х - нет. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -1. 

4. Поведение на бесконечности и в точках разрыва.

$Y= \lim_{x \to \infty} \frac{Y(x)}{x^2}= \frac{1+0}{1-0}=1$

Горизонтальная асимптота - Y=1.

 lim(-1-)Y(x)= +∞,lim(-1+)Y(x)= -∞,lim(1-)Y(x)= -∞,lim(1+)= +∞,

5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции.Y'(x). 

$Y'(x)= \frac{2x}{x^2-1}- \frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=0$

Корень при Х=0. 

7. Локальный экстремум - максимум Ymax(0)= - 1. 

8. Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - Х∈(-∞;-1)∪(-1;0), убывает = Х∈(0;1)∪ (1;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = ?. 

Корней - нет. Точек перегиба - нет. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-1;1), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-1)∪ (1;+∞).

10. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  k=lim(oo)Y(x)/x = 1 - совпадает с горизонтальной. 

11. График в приложении.